Evaluación de la teoría clásica de la administración científica (página 2)

Tabla para calcular raíces mediante el método de la Bisección.

c) METODO DE LA REGLA FALSA.-

El método anterior el de bisección es una técnica valida para determinar raíces su enfoque es relativamente ineficiente.

El método de la regla falsa es un método de mejor alternativa se aproxima en forma mas rápida a la raíz.

Este método consiste en aprovechar la unión de los puntos con una línea recta intersectándola con el eje "X" de esta manera nos proporciona una estimación de la raíz dándonos una posición falsa.

Esta intersección se la puede calcular de la siguiente manera:

En este método se hacen los mismos pasos que en la bisección cambiando únicamente la formula.

Ejemplo: Hallar la solución de F(X)=5X+X con valores: X1=-0,4 y X2=0,6

Solución:

• e) Se vuelve al paso (b) y se calculan las nuevas aproximaciones, las cuales se dan en la siguiente tabla:

1.2.- METODOS ABIERTOS.- Son métodos recursivos los cuales teniendo una forma proyectan un valor Xi a un valor Xi + i mediante métodos iterativos a usar puede diverger o converger rápidamente dependiendo del punto inicial.

La base fundamental de estos métodos es que solo requiere de un valor "x" o de un par de valores los cuales no necesariamente encierran a la raíz, los cuales muchas veces se alejan o se acercan de la raíz

Los métodos abiertos son los siguientes:

a) METODO DE LAS AROXIMACIONES SUCESIVAS.- (Iteración del punto fijo).- Este método parte de una ecuación F(x)=0 la cual es re-arreglada de tal forma que "X" quede al lado izquierdo de la ecuación es decir X=G(x)

Esta transacción se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando "X" a cada lado de la ecuación. Es decir: X = F(X)+ X.

La ecuación X = G(x) tiene utilidad ya que se da una aproximación inicial Xi de la cual se puede obtener una nueva aproximación Xi+1 mediante una formula iterativa.

Ejemplo:

las restantes iteraciones se dan en la siguiente tabla:

Como se ve en la solución X = – 0.469622 se encuentra en la iteración 126. Su convergencia es lenta.

b) METODO DE NEWTON RASPÓN.- Este método es mucho mas eficiente que la anterior parte de un punto del cual se traza una recta tangencial para obtener una primera aproximación la cual es interceptada con el eje "x" este proceso se repite hasta llegar al resultado deseado.

Aplicando la formula, vemos los resultados en el siguiente cuadro:

La solución X = -0.469622 se encuentra en la iteración 5. Es rápida.

c) METODO DE LA SECANTE.- El método de Newton Raspón tiene un problema el cual es evaluar la derivada especialmente en funciones implícitas, siendo sus derivadas especialmente difíciles de evaluar.

Para estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia.

En este método el planteamiento requiere dos puntos iniciales para la variable independiente (x). No requiere de F(x) cambia de signos por lo que no se clasifica como los que usan intervalos.

Aplicando la formula, vemos los resultados en el siguiente cuadro:

La solución X = -0.469622 se encuentra en la iteración 7. Tiene más iteraciones que la Secante pero se hace más fácil cuando la derivada es muy compleja.

APLICACIONES AL MICROSOFT EXCEL.- Como todas las formulas son iterativas la solución de los problemas es muy conveniente aplicarlas al Microsoft Excel para obtener resultados de modo inmediato, caso contrario tendríamos que aplicarlos a un lenguaje de programación. Otro Software que es útil para hallar la solución de raíces o para derivar e integrar numéricamente es el GraphMatica.

CUESTIONARIO WORK PAPER No. 3

1.- Determine las raíces de: 2X2-5X+2=0 aplicando:

• a) tanteo

• b) factorización

• c) formula cuadrática

2.- Determine las raíces de:

• a) Usando la fórmula analítica

• b) Usando el método de bisección para determinar la raíz mas alta teniendo valores iniciales X1=2,5 y X2=3,5. Calcular los errores después de cada iteración.

• c) Gráficamente,

• d) Con los datos del inciso "b" usar el Método de la Regla Falsa.

3.- Dado un polinomio: F(X)=-0,874X2+1,75X+2,627, hallar una de las raíces aplicando uno de los métodos conocidos.

4.- Dada la función de la pregunta 3. Determinar la mayor raíz y la cantidad de Iteraciones teniendo como valor inicial X0=0.

• a) Use el método de aproximaciones sucesivas.

• b) Use el método de Newton-Raphson

• c) Use el método de la Secante (X1=-2,2)

5.- Hacer un programa para resolver la ecuación: XN-a=0, con X0=a/n. Aplicar el método mas eficiente.

6.- Hallar raíz positiva real de: F(X)= 4 X4-24,8 X3+57,76 X2+20,57 Teniendo valores iniciales: X1=0,5 y X2=1,5. Use el método más eficiente y realice los cálculos hasta un error de 10%.

7.- Hallar todas las raíces reales de F(X)=X3-7X+6, aplicando los métodos de newton raphson y Ruffini.

8.- Resolver el siguiente sistema no lineal.

Nota. Los prácticos deberán resolverlos usando el Microsoft Excel.

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:

• Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.

• Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.

• Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.

En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.

La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.

Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Regla del trapecio

La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

Llamando a las ordenadas Y i (i = 1, 2, 3, …., n+1), las áreas de los trapecios son:

En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.

Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f'(X) y f''(X), el error que resulta de aproximar el área verdadera en una faja bajo la curva f(X) comprendida entre Xi y Xi+1 mediante el área de un trapecio, se demuestra que es igual a:

Este error es la cantidad que se debe agregar al área del trapecio para obtener el área real. Se llama Error por Truncamiento, ya que es el error que resulta de utilizar una serie de Taylor truncada, en vez de una serie de Taylor completa, para representar en forma de serie el área de una faja. Generalmente no se puede valuar directamente el término mostrado como error por truncamiento.

El error por redondeo se puede minimizar utilizando aritmética de doble precisión o mediante compiladores que pueden manejar un gran número de dígitos significativos.

De la información anterior se puede ver que el error total en el intervalo de integración deseado, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Si el error total se debiera únicamente al error por truncamiento, se podría hacer tan pequeño como se deseara reduciendo suficientemente el ancho de la faja. Por ejemplo, bisectando el ancho de la faja se duplicaría el número de errores por truncamiento que hay que sumar, pero la expresión para el error en cada faja indica que cada uno sería aproximadamente un octavo de su valor previo.

Sin embargo, disminuyendo el ancho de la faja se afectaría también el error total al aumentar el error por redondeo, debido al mayor número de operaciones que hay que efectuar al valuar la ec. (3). Entonces, cuando se disminuye el ancho de la faja para disminuir el error total, existe un punto óptimo en el cual disminuciones adicionales del ancho de la faja harían que el error aumentara en lugar de disminuir, porque el error por redondeo se volvería dominante. El ancho óptimo de la faja para una función especial se puede determinar fácilmente en forma experimental en la computadora (suponiendo que el área real bajo la gráfica de la función se puede valuar) pero es difícil definirlo analíticamente.

CUESTIONARIO WORK PAPER 4

1.- Explique cuando se utilizan las formulas de newton-cotes para calcular la integral de una función.

2.- Explique las diferencia de las formas abiertas y cerradas de las formulas de Newton-Cotes.

3.- Tenemos las siguientes mediciones experimentales y necesitamos calcular la integral de la función para valores negativos de x.

4.- De los datos de la pregunta anterior calcular la integral para la funcion en el intervalo de 0 a 360.

5.- Calcular el error por redondeo del calculo de la integral de la pregunta 4.

Concentremos ahora nuestra atención a procedimientos para diferenciar numéricamente funciones que están definidas mediante datos tabulados o mediante curvas determinadas en forma experimental.

Un método consiste en aproximar la función en la vecindad del punto en que se desea la derivada, mediante una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y utilizar entonces la derivada de la parábola en ese punto como la derivada aproximada de la función.

Otro ejemplo, que comentaremos aquí, utiliza los desarrollos en serie de Taylor.

DIFERENCIAS CENTRALES, HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS

Observando la figura (1), vemos que si designamos los puntos uniformemente espaciados a la derecha de Xi como Xi+1 , Xi+2, etc. y los puntos a la izquierda de Xi como Xi-1, Xi-2 , etc. e identificamos las ordenadas correspondientes como Yi+1, Yi+2, Yi-1, Yi-2, respectivamente, la ec. (3) se puede escribir en la forma:

La ec. (4) se denomina la primera aproximación, por Diferencias Centrales de Y', para X. La aproximación representa gráficamente la pendiente de la recta discontinua mostrada en la figura 1. La derivada real se representa mediante la línea sólida dibujada como tangente a la curva en Xi.

Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) y utilizamos la notación descrita previamente, podemos escribir la siguiente expresión para la segunda derivada:

La ec. (5) es la primera aproximación, por Diferencias Centrales, de la segunda derivada de la función en Xi.

Para obtener una expresión correspondiente a la tercera derivada, utilizamos cuatro términos en el segundo miembro de cada una de las ecs. (1) y (2). Restando la ec. (2) de la ec. (1) se obtiene

La ec. (11) es la primera expresión de Diferencias Centrales correspondiente a la tercera derivada de Y en Xi.

Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero como requieren la solución de un número cada vez mayor de ecuaciones simultáneas, el proceso se vuelve tedioso. La misma técnica se puede utilizar también para encontrar expresiones más precisas de las derivadas utilizando términos adicionales en el desarrollo en serie de Taylor. Sin embargo, la derivación de expresiones más precisas, especialmente para derivadas de orden superior al segundo, se vuelve muy laboriosa debido al número de ecuaciones simultáneas que se deben resolver.

No se presentan aquí esas derivaciones, pero dichas expresiones, para diferentes derivadas, se incluyen en el resumen que sigue a estos comentarios.

Las expresiones correspondientes a las derivadas de mayor orden se logran con mucho mayor facilidad y bastante menos trabajo, utilizando operadores de diferencias, de promedios y de derivación. Este método se encuentra fuera de los alcances fijados, pero se pueden encontrar en varios libros referentes al análisis numérico.

Se ha demostrado que las expresiones de Diferencias Centrales para las diversas derivadas encierran valores de la función en ambos lados del valor X en que se desea conocer la derivada en cuestión. Utilizando desarrollos convenientes en serie de Taylor, se pueden obtener fácilmente expresiones para las derivadas, completamente en términos de valores de la función en Xi y puntos a la derecha de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Adelante.

En forma similar, se pueden obtener expresiones para las derivadas que estén totalmente en términos de valores de la función en Xi y puntos a la izquierda de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Atrás.

En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias
hacia adelante se utilizan cuando no se dispone de datos a la izquierda del
punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones de diferencias
hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del
punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más
precisas que cualquiera de las otras dos.

CUESTIONARIO WORK PAPER 5

1.- Diga algunas formas de aproximación de una función para calcular su derivada en un punto.

2.- Explique en que consiste el método de series de Taylor para desarrollar una función

3.- Explique porque se utilizan aproximaciones para encontrar de derivada de una función en un punto.

4.- Explique en que consisten las diferencias centrales.

5.- Diga si es posible obtener derivadas de orden n, por el método de la aproximación a series de Taylor. Explique por que

Existen muchos medios informáticos para sacar las raíces de un polinomio o cualquier ecuación trascendental, tales como hojas de cálculo y graficadores matemáticos. Utilizando estos medios, dos como mínimo:

• Encontrar las raíces de una ecuación polinómica.

23/4 – 0.3x – 0.5×2 – 0.25×3 – 0.35×4=0

• Encontrar las raíces de una ecuación trascendental. ex+5笯g(x)-2=0

Se formarán grupos de 3 estudiantes y se discutirá sobre las ventajas que se puedan apreciar por los dos métodos aplicados. Presentar los resultados.

Se sugieren los siguientes sitios WEB.

www.abcdatos.com/programas/programa/l7896.html

www.unileon.es/temario. php?cod=0702013&elementoID=601 – 59k

www.itesm.mx/va/graduados/SinteticosNuevoSist/sin-m.htm

CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):

GRUPO (máximo cinco integrantes):

AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA

Se tiene varios medios informáticos que facilitan la obtención de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Como el cálculo manual demora mucho tiempo y además es fácil de cometer errores, es necesario que el ingeniero conozca estos medios informáticos; tales como hojas de cálculo y graficadores matemáticos. Utilizando estos medios, dos como mínimo:

Encontrar un sistema de ecuaciones lineales de 5×5

Discutir acerca de cómo se puede encontrar un sistema adecuado para solucionar un sistema específico.

Bibliografia recomendada

Métodos Numéricos de Luthe Oliveira Editorial LIMUSA 1990

Pagina de Internet

http://platea.cnice.mecd.es/~jcarias/uam2005/buscatesoro/item5.htm

www.sectormatematica.cl/software.htm

CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):

GRUPO (máximo cinco integrantes):

AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA

Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"font>

www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"font>